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Un triangle scalène avec les angles à 30, 60 et 90 degrés est, par définition, un triangle, car l’un des angles a 90 degrés, c’est-à-dire qu’il s’agit d’un angle droit. De tels triangles sont très fréquents dans les instructions de trigonométrie, il est donc intéressant de connaître à la fois la longueur des côtés de ce type de triangle et comment l’on peut en déduire.
Les instructions
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Orientez le triangle scalène de manière à ce que le côté de taille moyenne soit horizontal du bas et le plus petit de la droite. Ensuite, l'angle de 30 degrés sera à gauche et l'angle de 60 degrés vers le haut. Trouvez la longueur de l'hypoténuse avec la lettre H.
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Déterminez la longueur du côté le plus court en divisant H par 2. Déterminez la longueur du côté inférieur en multipliant H par √3 / 2. Vous pouvez également trouver la longueur du dessous en multipliant le côté le plus court par √3, ce qui peut être plus facile à retenir que le nombre √3 / 2.
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Déterminez H si l'un des autres côtés est trouvé en multipliant le plus court par 2 ou en multipliant le côté de longueur moyenne par 2 / √3. Bien sûr, si vous connaissez déjà deux côtés, vous pouvez utiliser le théorème de Pythagore pour trouver le troisième, car il s’agit d’un triangle rectangle.
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Dérivez l'origine des numéros précédents: placez deux triangles côte à côte à 30-60-90 degrés de la même taille, la longueur médiane se chevauchant au milieu et les côtés les plus courts formant une ligne droite jusqu'au fond. Notez que ces deux triangles forment maintenant un triangle dont tous les angles sont égaux à 60 degrés. Le triangle est maintenant équilatéral. Puisque tous les angles sont égaux, les longueurs sont les mêmes. Par conséquent, les trois côtés sont de longueur H. Notez spécifiquement que le dessous est de longueur H. Parce que le dessous est composé de deux côtés plus courts, le côté le plus court d'un triangle d'angles 30-60-90 est H / 2. Selon le théorème de Pythagore, le côté médian doit être H√3 / 2.
Comment
- Les côtés d'un triangle scalène avec la longueur de l'hypoténuse sur 1 apparaissent souvent dans les exercices de trigonométrie. Si vous placez le triangle dans un cercle de sorte que le côté le plus court touche l'axe des x positif et que l'hypoténuse de longueur 1 s'étende de l'origine au cercle, le point d'intersection dans le cercle a une coordonnée x de 1/2 ey √3 / 2. Ce sont les sinus et cosinus de 30 degrés. Si le triangle est tourné de telle sorte que la longueur médiane se trouve sur l'axe des x positif, le point d'intersection dans le cercle a une coordonnée x de √3 / 2 et y de 1/2. On dit alors que le cosinus à 60 degrés est 1/2 et le sinus à 60 degrés est √3 / 2. Par un raisonnement similaire, le sinus et le cosinus de 45 degrés sont tous deux √2 / 2 = 1 / √2 car un triangle d'angles 45-45-90 avec l'hypoténuse a des côtés de longueur 1 / √2. Notez que lorsque vous passez de 30 à 45 à 60 degrés, le cosinus diminue de √3 / 2 à √2 / 2 à √1 / 2 (= 1/2) et le sinus augmente de √1 / 2 à √2 /. 2 à √3 / 2. Ce modèle génère un mnémonique intéressant pour les nombres décrits aux étapes un, deux et trois.
Avis
- Ne confondez pas le triangle mentionné ci-dessus avec un triangle rectiligne de côtés 3-4-5, qui présente un rapport simple entre les côtés mais n’a pas les mêmes angles que le triangle de 30 à 60-90 degrés.