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Si vous deviez faire un carré et dessiner deux lignes diagonales, elles se croiseraient en son centre et formeraient quatre triangles rectangles; les deux lignes se coupent à un angle de 90 degrés. Il est possible de découvrir intuitivement que ces deux diagonales dans un cube, chacune allant d'un coin à l'autre et se croisant au centre, peuvent aussi se croiser à angle droit; Mais ce serait une erreur. Déterminer l'angle auquel les deux diagonales se croisent est un peu plus compliqué qu'il n'y paraît au premier abord, mais il est bon de comprendre les principes de la géométrie et de la trigonométrie.
Étape 1
Définissez la longueur d'une arête en tant qu'unité. Par définition, chaque arête du cube a une longueur égale à l'humidité.
Étape 2
Utilisez le théorème de Pythagore pour déterminer la longueur de la diagonale qui va d'un coin à l'autre sur le même côté, que l'on peut appeler «diagonale mineure», par souci de clarté. Chaque côté du triangle rectangle formé est une unité, donc la diagonale doit être égale à √2.
Étape 3
Utilisez le théorème de Pythagore pour déterminer la longueur d'une diagonale allant d'un coin à l'autre, de l'autre côté du cube, qui peut être appelée «diagonale majeure». Vous aurez un triangle rectangle sur un côté équivalent à une unité et un côté égal à la "plus petite diagonale", qui équivaut à la racine carrée de deux unités. Le carré de l'hypoténuse est égal à la somme du carré des côtés, donc l'hypoténuse doit être √3. Chaque diagonale allant d'un coin à l'autre de l'autre côté du cube est égale à √3 unités.
Étape 4
Tracez un rectangle pour représenter deux diagonales plus grandes à travers le centre du cube et considérez que l'angle de leur intersection doit être trouvé. Ce rectangle doit mesurer 1 unité de haut et 2 unités de large. Les plus grandes diagonales se croisent au centre de ce rectangle et forment deux types différents de triangles. L'un d'eux aura un côté égal à 1 unité et les deux autres égaux √3 / 2 (la moitié de la longueur d'une plus grande diagonale). L'autre aura deux côtés égaux à √3 / 2, mais votre premier sera √2. Il vous suffit d'analyser l'un des triangles, de choisir le premier et de découvrir l'angle inconnu.
Étape 5
Utilisez la formule trigonométrique "c² = a² + b² - 2ab x cos C" pour trouver l'angle inconnu de ce triangle. "C = 1" et "b" et "a" sont égaux à √3 / 2. En mettant ces valeurs dans l'équation, nous constatons que le cosinus de l'angle est 1/3. L'inverse du cosinus 1/3 correspond à un angle de 70,5 degrés.