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Le calcul des racines primitives est une compétence utile en cryptographie et en théorie des nombres. Un nombre "g" est une racine primitive pour un nombre premier "p" donné si g mod p a le module d'ordre p-1. Cela signifie que la liste de "g1 mod p", "g2 mod p" à "g (p-1) mod p" contient tous les entiers de 1 à (p-1). Il n’existe aucun algorithme connu pour calculer efficacement les racines primitives. La méthode la plus simple consiste à essayer chaque nombre possible de 2 à (p-1).
Les instructions
Une utilisation courante de l'arithmétique modulaire est l'horloge de pointeur, qui utilise le module arithmétique 12 (Hemera Technologies / PhotoObjects.net / Getty Images)-
Choisissez un nombre premier, "p", comme cinq. Un nombre premier n'a pas de diviseurs au-delà de lui-même et un. Par exemple, quatre n'est pas un nombre premier car "4/2 = 2", il en a 2 comme diviseur.
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Calculez "2 ^ n mod p" pour chaque entier "n" de 1 à (p-1). En utilisant l’exemple, "p" vaut 5, puis calculez "2 ^ n mod 5" pour "n" de 1 à 4. Ceci produit la liste:
2 ^ 1 = 2 mod 5 = 2 2 ^ 2 = 4 mod 5 = 4 2 ^ 3 = 8 mod 5 = 3 2 ^ 4 = 16 mod 5 = 1
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Assurez-vous que la liste de nombres contient toutes les traces possibles de cinq. Les listes 2, 4, 3 et 1 sont qualifiées, donc 2 est une racine primitive avec le reste 5. Si, au lieu de cela, la liste était 2,1,4 et 1, qui est la liste pour 4, alors 4 ne serait pas une racine primitive car le numéro 3 est absent de la liste.
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Répétez l'étape précédente pour tous les entiers inférieurs à cinq. Le numéro trois est aussi une racine primitive de repos cinq, mais quatre ne l'est pas; alors deux et cinq sont les racines primitives pour cinq.